Frater Ignatius
La semana pasada se habló someramente de los fractales. Hoy toca hablar de un tema íntimamente relacionado con esos cuerpos geométricos irregulares. El matemático alemán de origen judío, Felix Hausdorff (1868-1942) introdujo una dimensión muy peculiar. Mide las dimensiones fraccionarias de los conjuntos fractales. En la vida de todos los días siempre pensamos en dimensiones topológicas enteras de objetos lisos. Reflexionamos sobre la superficie de una lámpara, un plato, un vaso o un foco, por nombrar unos cuantos ejemplos. En el caso del plano, se presentan dos dimensiones. Un punto en dicho plano se puede representar a través de parámetros independientes como las distancias medidas en un par de ejes x, y. En este caso concreto, una línea recta se dice en topología que tiene o posee una dimensión uno. Recordemos que es distinta a la dimensión fractal.
Existen tanto conjuntos como curvas que son de un grado de complicación mayor y es cuando entra la dimensión Hausdorff. Define la dimensión de manera diferente. Se puede elucubrar sobre una línea que describe un zigzag y se enrosca complicadamente, cubriendo parcialmente el plano. La dimensión en este caso va más allá del uno y adopta valores que se acercan cada vez más a dos conforme la línea cubre más el plano.
Las curvas de Peano llenan espacios, llegan a una complicación muy alta y tienen una dimensión de Hausdorff dos. Las líneas costeras, por ejemplo, pueden oscilar desde 1.02 hasta 1.25.
Una de las definiciones ya clásicas de fractal dice que es un conjunto en relación con el cual la dimensión de Hausdorff supera la dimensión topológica.
Existe una utilidad en las dimensiones fraccionarias que cuantifican la irregularidad, las pautas de crecimiento y la complejidad tanto en el arte como en la biología o la geología.
Abram Basicovitch fue otro matemático judío que estudió a fondo la dimensión Hausdorff y ahora se agrega su nombre a la conocida dimensión.
Existen personas que terminan dramáticamente sus vidas. Hausdorff fue perseguido por los nazis y para evitar ir a un campo de concentración se suicidó junto a su mujer y su cuñada. Una persona valiosa que muere a manos de la barbarie, indirectamente. Uno de los padres de la topología moderna y que aportó mucho al análisis funcional y a la teoría de conjuntos. La vida muchas veces nos presenta el absurdo para ejemplificar el carácter azaroso de la existencia.
