Astrolabio

Frater Ignatius

Superficie no orientable y abierta. No existe ni interior ni exterior. La banda de Möbius se relaciona con ella. Es una superficie con borde, mientras que la superficie de Klein no tiene borde. Empero, si unimos dos cintas o bandas de Möbius por los bordes, obtenemos una botella de Klein. Tampoco lo tiene una esfera pero ésta es orientable. Por un error de traducción se confundió superficie con botella, que en alemán son Flasche y Fläche. Casi nadie se dio cuenta de la falta debido a que dicha superficie parece efectivamente una botella. El matemático alemán Félix Klein fue el que la describió: “Objeto con el aspecto de una botella cuyo cuello flexible se introduce en ésta hasta conectarse con su fondo, generando una superficie que no tiene ni interior ni exterior.”

Es posible pintar una superficie de Klein. Evidentemente como no existe ni interior ni exterior porque también no son definibles o explícitos, empezaríamos por pintar el supuesto exterior que se visualiza en las dimensiones y al llegar al estrecho cuello nos daríamos cuenta que estamos pintando algo parecido al interior.

Es astrónomo Cliff Styoll, con la colaboración del Kingbridge Centre de Toronto y de la empresa de material de laboratorio Killdee, ha creado el mayor modelo de superficie de Klein del mundo. La botella de Klein de Kingbridge mide 1.1 metros de altura y 50 centímetros de diámetro y está construida con 15 kilogramos de cristal Pyrex.

Sabemos ahora que se necesitan seis colores para cubrir una superficie de Klein y que no existan dos regiones limítrofes del mismo color. Por otro lado, existen personas estudiosas de los juegos de lógica y del ajedrez que utilizan la superficie de Klein para crear partidas de ajedrez y laberintos con la forma de esta curiosa superficie.  

Juan José en su obra Palíndroma habla de una manera realmente genial sobre la botella de Klein:

“Mi mente trabajada no puede más, siguiendo las curvas del palindroma de cristal. ¿Eres un cisne que se hunde el cuello en el pecho y se atraviesa para abrir el pico por la cola? Me emborracho mentalmente gota a gota con la clepsidra que llueve lentamente sus monosílabos de espacio y tiempo. Mojo la pluma en ese falso tintero y escribo sin mano una por una las definiciones inútiles: signos de interrogación estatuaria. Trompa gigante de Falopio. Corno de caza que me da el toque de atención al silencio, cuerno de la abundancia vacía, cornucopia rebosante de nada… Víscera dura que desdice la vida diciendo soy útero y falo, la boca que dice estas cosas: soy tu yo de narciso inclinado a su lirio, tu dentro y tu fuera, abierto y cerrado, tu liberación y tu cárcel, no bajes los ojos ¡mírame!”

Se demuestra en las palabras de Arreola que la matemática también es poética.

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