Astrolabio

Frater Ignatius

Comenzaba el siglo XX y el famoso pensador y matemático Bertrand Russell encontró una paradoja o aporía con una contradicción evidente que llevo a una modificación de la teoría de conjuntos. Concretamente se creó el concepto de conjuntos normales y conjuntos singulares. Hay una versión de este problema de carácter divulgativo que es conocida como la paradoja del barbero, la cual habla de una ciudad con un barbero que afeita a todos los hombres diariamente que no se afeitan a sí mismos y a nadie más. La pregunta es: ¿Se afeita el barbero a sí mismo?

As Samet evidentemente estaba angustiado. Al encontrarse con el emir, le dijo:

-En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, que soy yo mismo. Si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería afeitarme pues desobedezco órdenes. Empero si no me afeito, entonces algún barbero debe afeitarme. ¡Pero como soy el único barbero del pueblo!, no puedo hacerlo y también de esta manera desobedezco órdenes! ¿Qué puedo hacer?

El argumento anterior sugiere que el barbero se afeita a sí mismo si, y solo si, no se afeita a sí mismo.

Precisamente en el punto anterior entran los conceptos de conjuntos normales y singulares. Muchos conjuntos R no son miembros de sí mismos. Por ejemplo, el conjunto de monedas no es una moneda. Ejemplos de conjuntos T que sí se contienen a sí mismos son el conjunto de todos los conjuntos, o el conjunto de todas las cosas que no sean monedas. Todos los conjuntos son o uno o lo otro y no pueden pertenecer a los dos al mismo tiempo. Russell lo que hizo fue preguntarse acerca del conjunto S de todos los conjuntos que son miembros de sí mismos. Se puede afirmar que S no es ni miembro de sí mismo, ni no miembro de sí mismo. Lo anterior ayudó a modificar la teoría de conjuntos de modo que se evitaran este tipo de contradicciones. Hacemos hincapié que la formalidad lógica matemática de todo esto es muy técnica y rebasa este opúsculo divulgativo.

Varios matemáticos profesionales dicen que una refutación a la paradoja de Russell es afirmar que simplemente Samet no puede existir. ¡Lo que permite esta aporía es hacer más clara la teoría de conjuntos por paradójico que parezca!

Gödel en su teorema de incompletitud tomó esta paradoja como inspiración. Alan Turing también encontró provechoso el trabajo del genio británico.

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